TUGAS 4 PDM

Membuktikan dengan bukti kesahan formal argumen :
a.
1.[(a ∨ c) ∧ ~b] ⇒[(d⇒c)⇒f]
2.~a⇒b
3.~b / ∴(d⇒c)⇒f
4.a 2,3(MT)
5.a ∨ c 4(ad)
6.(a ∨ c) ∧ ~b 3,5(konj)
7.(d⇒c)⇒f 1.6(MP)

b.
1.e⇒(f ∧ ~g)
2.(f ∨ g) ⇒ h
3.e / ∴(e ∧ g)⇒f
4.~g ∨ f
5.(~e ∨ f) ∧( ~g∨ f)
6.(~e ∧~g)∨ f
7.(e ∧ g)⇒f

c.
1.e ⇒f
2.e ⇒ g / ∴ e ⇒(f∧ g)
3.~e ∨ f 1(imp)
4.~e ∨ g 2(imp)
5.(~e ∨ f) ∧(~e ∨ g) 3,4(konj)
6.~e ∨ (f ∧ g) 5(dist)
7.e ⇒ (f ∧ g) 6(imp)

d.
1.(~u ∨ v) c (u ∨ v)
2.~x ⇒ ~w
3.(~u ∧ v) ∨ v / ∴ v ∨ x
4.F ∨ v 1(dist)
5.v 4(komp)
6.v ∨ w 5(ident)
7.w ∨ v 6(add)
8.~w ⇒ v 7(kom)
9.~x ⇒ v 8(imp)
10.x ∨ v 2,9(imp)
11.v ∨ x 11(kom)
e
1.e ⇒ f
2.g ⇒ f / ∴ (e ∨ g) ⇒ f
3.~e ∨ f
4.~g ∨ f
5.(~e ∨ f) ∧ (~g ∨ f)
6.(~e ∧ ~g) ∨ f
7.(e ∨ g) ⇒ f

f.
1. (s ⇒ t) ∧(u ⇒ v)
2. w ⇒ (s V u) / ∴ w ⇒ (t V v)
3. (s ⇒ t) (1 simp)
4. (s ⇒ t) V u (3 Add)
5. ( s V u) ⇒ (t V u) (4 dist)
6. w ⇒ (t V u) (2,5 MT)
7. (u ⇒ v) (1 simp)
8. (u ⇒ v) V t (7 Add)
9. ( u V v) ⇒ ( v V t) (8 dist)
10.( t V u) ⇒ ( t V v) (7 komp)
11. w ⇒ ( t V v ) (6,8 MT)



Menyusun bukti formal
a)b : Saya belajar
` n : Saya mendapat nilai baik
s : Saya bersenang - senang
1.b ⇒ n
2.~b ⇒ s /∴ n ∨ s
3.~n ⇒ ~b 1(ekuivalen)
4.~n ⇒ s 2,3(silog)
5.n v s 4(Imp)


b)p : Persediaan perak tetap
t : Penggunaan perak meningkat
n : Harga perak naik
s : Bermunculan spekulan - spekulan
1. (p ∧ t) ⇒ n
2. (t ⇒ n) ⇒ s
3. p / ∴ s
4. P ⇒ (t ⇒ n) (1 Eksp)
5. p ⇒ s (4,2 HS)
6. s (5,3 MP)

c) h: harga jatuh
u: upah naik
a: dagang eceran meningkat
i : kesibukan iklan meningkat
k: pedagang kecil mendapat uang banyak
1. ( h V u ) ⇒ (a ∧ i)
2. a ⇒ k
3. ~k / ∴ ~h
4. ~a (2,3 MT)
5. ~a V ~i (4 Add)
6. ~(a ∧ i) (5 DM)
7. ~(h V u) (1,6 MT)
8. ~h ∧ ~u (7 DM)
9. ~h ( 8 simp)

d) b: Adam menumpang bus
k: Adam menumpang kereta api
m: Adam mengendarai mobil sendiri
l: Adam terlambat
h: Adam kehilangan bagian pertama
1. b V k
2. ( b V m ) ⇒ ( l ∧ h)
3. ~l / ∴ k
4. ~b ⇒ k (1 impl)
5. ~(b V m) V (l ∧ h) (2 impl)
6. ~(b ∧ m) (5 id)
7. b V m (6 DM)
8. ~b ⇒ m (7 impl)
9. m ⇒ ~b (8 komp)
10. m ⇒ a (4,9 sil)
11. ~m V k (10 impl)
12. k (11 id)

TUGAS 3 PDM

BUKTIKAN KESAHAN ATURAN PENYIMPULAN BERIKUT:
1. Silogisme
p→q
q→r
.˙. p→r

(p→q)Λ(q→r) →(p→r)
≡[~(p→q)v~(q→r)]v(p→r) (imp)
≡[~(~pvq)v~(~qvr)]v(~pvr) (imp)
≡[(pΛ~q)v(qΛ~r)]v(~pvr) (DM)
≡{[( pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)v~r]} v(~pvr) (dist)
≡{[( pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (dist)
≡{[( pvq)ΛT]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (komp)
≡[( pvq)Λ(pv~r)Λ(~qv~r)]v(~pvr) (id)
≡{[(pvq)v~p]Λ[(pv~r)v~p]Λ[(~qv~r)v~p]}vr (dist)
≡{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)v~r)]Λ[(~qv~r)]}v r (asso)
≡[( T vq)Λ(Tv~r)Λ[(~qv~r)]}v r (komp)
≡ [(TΛTΛ(~qv~r)]vr (id)
≡(~qv~r)vr (id)
≡~qv(~rvr) (asso)
≡~qv T (komp)
≡ T (id)

2. Distruktive Silogisma (DS)
pvq
~p
.˙. q
[(pvq)Λ~p]→q
≡(pΛ~p)v(qΛ~p)→q (dist)
≡ Fv(qΛ~p)→q (komp)
≡ (qΛ~p)→q (id)
≡ ~(qΛ~p)vq (imp)
≡ (~qvp)vq (DM)
≡ (pv~q)vq (kom)
≡ pv(~qvq) (asso)
≡ pv(qv~q) (kom)
≡ pvT (komp)
≡ T (id)

3. Konstruktive Dilema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
(pvr)
.˙.qvs
{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(pvr)}→( qvs)
≡[(~pvq)Λ(~rvs)Λ(pvr)]→(qvs) (imp)
≡[(pΛ~q)v(rΛ~s)v(~pΛ~r)]v(qvs) (imp)
≡[( pΛ~q)v(rΛ~s)v(qvs)]v(~pΛ~r) (asso)
≡{[( pΛ~q)vq]v[(rΛ~s)vs]}v(~pΛ~r) (asso)
≡{[qv( pΛ~q)]v[sv(rΛ~s)]} v(~pΛ~r) (kom)
≡{[(qvp)Λ(qv~q]v[(svr)Λ(sv~s)]}v(~pΛ~r) (dist)
≡[(qvp)ΛT]v[(svr)ΛT]v(~pΛ~r) (komp)
≡[(qvp)v(svr)]v(~pΛ~r) (id)
≡(qvpvsvr)v(~pΛ~r) (asso)
≡(qvs)v(pvr) v(~pΛ~r) (asso)
≡(qvs)v[(pvr)v~(pvr)] (DM)
≡(qvs)vT (komp)
≡ T (id)

4. Distruktif Delema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
~qv~s
.˙.~pv~r
{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(~qv~s)}→ (~pv~r)
≡[(~pvq)Λ(~rvs)Λ(~qv~s)}→ (~pv~r) (imp)
≡[(pΛ~q)v(rΛ~s)v(qΛs)]v(~pv~r) (imp)
≡[(pΛ~q)v(qΛs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)] (asso)
≡{[(pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)vs]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (asso)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pvs)Λ(~qvs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (dist)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rΛ~s)v~r]v~p} (asso)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rv~r)Λ(~sv~r)]v~p} (dist)
≡{[(pvq)Λ T Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[ T Λ(~sv~r)]v~p} (komp)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]v[(~sv~r)v~p] (id)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
≡[(pvq v~p)Λ(pvs v~p)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (dist)
≡{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)vs]Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (asso)
≡[( T vq)Λ( T vs)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (komp)
≡(TΛ T)Λ(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
≡(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
≡(sv~sv)v(~pv~qv~r) (asso)
≡ T v (~pv~qv~r) (komp)
≡ T (id)

TUGAS 2 PDM

TUGAS 2 PDM

EXERCISE 1
Tentukan invers, konvers dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:

(a) (p ∧ q) ⇒ r
(b) p ⇒ (q ∧ r)
(c) ~p ⇒ (q ∧ ~r)
(d) (p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)
(e) (~q ∧ ~r) ⇒ (~p ∨ q)
(f) (q ∨ ~r) ⇒ (p ∧ r)

a) konvers = r ⇒ (p ∧ q)
invers = ~[(p ∧ q) ⇒ r]
~(p ∧ q) ⇒ ~r
~p ∨ ~q ⇒ ~r
kontraposisi = ~r ⇒ ~p ∨ ~q

b) konvers = (q ∧ r) ⇒ p
invers = ~[p ⇒ (q ∧ r)]
~p ⇒ (~q ∨ ~r)
kontraposisi = ~[(q ∧ r) ⇒ p]
(~q ∨ ~r) ⇒ ~p

c) konvers = (q ∧ ~r) ⇒ ~p
invers = ~[~p ⇒ (q ∧ ~r)]
p ⇒ (~q ∨ r)
kontraposisi = ~[(q ∨ ~r)⇒ ~p]
(~q ∨ r) ⇒ p

d) konvers = (q ∧ r) ⇒ (p ∨ ~q)
invers = ~[(p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)]
(~p ∧ q) ⇒ (~q ∨ ~r)
kontraposisi = ~[(q ∧ r) ⇒ (p ∨ ~q)]
(~q ∨ ~r) ⇒ (~p ∧ q)


e) konvers = (~p ∨ q) ⇒ (~q ∧ ~r)
invers = ~[(~q ∧ ~r) ⇒ (~p ∨ q)]
(q ∨ r) ⇒ (p ∧ ~q)
kontraposisi = ~[(~p ∨ q) ⇒ (~q ∧ ~r)]
(p ∧ ~q) ⇒ (q ∨ r)

f) konvers = (p ∧ r) ⇒ (q ∨ ~r)
invers = ~[(q ∨ ~r) ⇒ (p ∧ r)]
(~q ∧ r) ⇒ (~p ∨ ~r)
kontraposisi = ~[(p ∧ r) ⇒ (q ∨ ~r)]
(~p ∨ ~r) ⇒ (~q ∧ r)


EXERCISE 2
Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:

(a) Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
(b) Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
(c) Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
(d) Jika x > 10 maka x² > 100
(e) Jika x² – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.
(f) Jika sin x = 90° – cos x, maka x merupakan sudut lancip.
(g) Jika tan x = -1, maka x = 135° dan x = 315°

a) konvers = Jika harganya turun maka hasil produksi melimpah.
invers = Jika hasil produksi tidak melimpah maka harganya tidak turun.
kontraposisi = Jika harganya tidak turun maka hasil produksi tidak melimpah.

b) konvers = Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.
invers = Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran tidak meningkat.
kontraposisi = Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan banyak.


c) konvers = Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.
invers = Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.
kontraposisi = Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar

d) konvers = Jika x² > 100 maka x > 10
invers = Jika x < 10 maka x² < 100
kontraposisi = Jika x² < 100 maka x < 10

e) konvers = Jika x = 4 atau x = – 4 , maka x² – 16 = 0 .
invers = Jika x² – 16 ≠ 0 , maka x ≠ 4 dan x ≠ – 4.
kontraposisi = Jika x ≠ 4 dan x ≠ – 4 , maka x² – 16 ≠ 0 .

f) konvers = Jika x merupakan sudut lancip maka
sin x = 90° – cos x.
invers = Jika sin x ≠ 90° – cos x, maka x bukan merupakan sudut lancip.
kontraposisi = Jika x bukan merupakan sudut lancip maka
sin x ≠ 90° – cos x.

g) konvers = Jika x = 135° dan x = 315°, maka tan x = -1
invers = Jika tan x ≠ -1, maka x ≠ 135° atau x ≠ 315°
kontraposisi = Jika x ≠ 135° atau x ≠ 315°, maka tan x ≠ -1


EXERCISE 3

Buat kalimat matematika tentang kuantor dan negasi !

1.(Ex)(x faktor prima dari 20) dibaca “ada x yang memenuhi sifat x faktor prima dari 20.
negasi : Tidak semua x yang memenuhi sifat x faktor prima dari 20.

TUGAS PDM KELOMPOK 12

8 SEPTEMBER 2009

KELOMPOK 12 =

1. ELI PRIMAHANANI (4101409101)

2. FRADISTA YANUAR RIZKY (4101409108)

3. NANIK SUWARSIH (4101409144)

TUGAS 1

KALIMAT PERNYATAAN

1. Air adalah benda cair.

2. Dalam sebuah segitiga, jumlah sudut-dalamnya adalah 180⁰.

3. Untuk setiap sudut A berlaku sin²A+cos²A = 1.

4. Akar-akar persamaan kuadrat X²-X+4 = 0 adalah bilangan real.

5. Tan 90⁰ tidak dapat didefinisikan.

KALIMAT TERBUKA

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat X²-4X+3=0, dengan X peubah pada himpunan bilangan real adalah {2,3}.

2. X²-6X+5 = 0.

3. X adalah bilangan prima kurang dari 9.

4. 5X-6 = 14.

5. X+10 = (3X+2) + (2X-4).

KALIMAT PERINTAH

1. Pulanglah ,hari sudah larut malam!

2. Kunci pintunya!

3. Kerjakan tugas nomor 1 sampau 10!

4. Lingkari jawaban yang benar!

5. Tentukan negasi dari “ Ada bilangan cacah yang tidak habis dibagi 5!

KALIMAT TANYA

1. Mengapa kita belajar?

2. Bagaimana mobil itu busa bergerak?

3. Apa syarat untuk masuk perguruan tinggi?

4. Apa manfaat air bagi kehidupan?

5. Berapa luas segitiga jika diketahui panjang alas 6 cm dan tinggi 4 cm?

KALIMAT HARAPAN

1. Saya berharap semoga ketika ujian nanti dapat mengerjakan soal dengan lancar.

2. Semoga Allah SWT mengabulkan doa hambaNya yang bertakwa.

3. Mudah – mudahan saja besok tidak hujan, sehingga besok saya dapat menghadiri pesta ulang tahun teman saya.

4. Semoga teman saya lekas sembuh sehabis kecelakaan kemarin.

5. Semoga dalam perjalanan ke Jakarta tidak ada halangan apapun.

KALIMAT FAKTUAL

1. Hari ini matahari bersinar dengan terang.

2. Sekarang muncullah pelangi yang berwarna – warni di langit.

3. Sore ini hujan turun dengan deras.

4. Sekarang saya mengerjakan tugas Pengantar Dasar Matematika.

5. Nanti malam saya dan teman saya menonton Festival Band di Gasibu.